[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

3.790 \(\int \sec (e+f x) (a+b \sec (e+f x))^m \, dx\)

Optimal. Leaf size=103 \[ \frac {\sqrt {2} \tan (e+f x) (a+b \sec (e+f x))^m \left (\frac {a+b \sec (e+f x)}{a+b}\right )^{-m} F_1\left (\frac {1}{2};\frac {1}{2},-m;\frac {3}{2};\frac {1}{2} (1-\sec (e+f x)),\frac {b (1-\sec (e+f x))}{a+b}\right )}{f \sqrt {\sec (e+f x)+1}} \]

[Out]

AppellF1(1/2,-m,1/2,3/2,b*(1-sec(f*x+e))/(a+b),1/2-1/2*sec(f*x+e))*(a+b*sec(f*x+e))^m*2^(1/2)*tan(f*x+e)/f/(((
a+b*sec(f*x+e))/(a+b))^m)/(1+sec(f*x+e))^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.07, antiderivative size = 103, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 3, integrand size = 19, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.158, Rules used = {3834, 139, 138} \[ \frac {\sqrt {2} \tan (e+f x) (a+b \sec (e+f x))^m \left (\frac {a+b \sec (e+f x)}{a+b}\right )^{-m} F_1\left (\frac {1}{2};\frac {1}{2},-m;\frac {3}{2};\frac {1}{2} (1-\sec (e+f x)),\frac {b (1-\sec (e+f x))}{a+b}\right )}{f \sqrt {\sec (e+f x)+1}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

(Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1 - Sec[e + f*x])/2, (b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[e + f*x]
)^m*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*((a + b*Sec[e + f*x])/(a + b))^m)

Rule 138

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)
^(m + 1)*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))])/(b*(m + 1
)*(b/(b*c - a*d))^n*(b/(b*e - a*f))^p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !Inte
gerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] && GtQ[b/(b*e - a*f), 0] &&  !(GtQ[d/(d*a - c*b), 0] && GtQ[
d/(d*e - c*f), 0] && SimplerQ[c + d*x, a + b*x]) &&  !(GtQ[f/(f*a - e*b), 0] && GtQ[f/(f*c - e*d), 0] && Simpl
erQ[e + f*x, a + b*x])

Rule 139

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[(e + f*x)^
FracPart[p]/((b/(b*e - a*f))^IntPart[p]*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^FracPart[p]), Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*
((b*e)/(b*e - a*f) + (b*f*x)/(b*e - a*f))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]
&&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] &&  !GtQ[b/(b*e - a*f), 0]

Rule 3834

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[Cot[e + f*x]/(f*Sqr
t[1 + Csc[e + f*x]]*Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]), Subst[Int[(a + b*x)^m/(Sqrt[1 + x]*Sqrt[1 - x]), x], x, Csc[e + f
*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

Rubi steps

\begin {align*} \int \sec (e+f x) (a+b \sec (e+f x))^m \, dx &=-\frac {\tan (e+f x) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {(a+b x)^m}{\sqrt {1-x} \sqrt {1+x}} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt {1-\sec (e+f x)} \sqrt {1+\sec (e+f x)}}\\ &=-\frac {\left ((a+b \sec (e+f x))^m \left (-\frac {a+b \sec (e+f x)}{-a-b}\right )^{-m} \tan (e+f x)\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\left (-\frac {a}{-a-b}-\frac {b x}{-a-b}\right )^m}{\sqrt {1-x} \sqrt {1+x}} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt {1-\sec (e+f x)} \sqrt {1+\sec (e+f x)}}\\ &=\frac {\sqrt {2} F_1\left (\frac {1}{2};\frac {1}{2},-m;\frac {3}{2};\frac {1}{2} (1-\sec (e+f x)),\frac {b (1-\sec (e+f x))}{a+b}\right ) (a+b \sec (e+f x))^m \left (\frac {a+b \sec (e+f x)}{a+b}\right )^{-m} \tan (e+f x)}{f \sqrt {1+\sec (e+f x)}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 14.90, size = 2828, normalized size = 27.46 \[ \text {Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

(-6*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*(b + a*Cos
[e + f*x])^m*Sec[e + f*x]^(1 + m)*(a + b*Sec[e + f*x])^m*Tan[(e + f*x)/2])/(f*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)*(3*(a
+ b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(-((a - b)*m*
AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*
AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e + f*x)/2]^2)*(
(6*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*(b + a*Cos[
e + f*x])^m*Sec[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]^m*Tan[(e + f*x)/2]^2)/((-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2*(3*(a + b)*Appe
llF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(-((a - b)*m*AppellF1[
3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*AppellF1[
3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) - (3*(a +
 b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*(b + a*Cos[e + f*x
])^m*Sec[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]^m)/((-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Ta
n[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) + (6*a*(a + b)*m*AppellF1[1/2, 1 + m,
 -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*(b + a*Cos[e + f*x])^(-1 + m)*Sec[e + f*x]
^m*Sin[e + f*x]*Tan[(e + f*x)/2])/((-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e +
 f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f
*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)
/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) - (6*(a + b)*m*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2
, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*(b + a*Cos[e + f*x])^m*Sec[e + f*x]^(1 + m)*Sin[e
+ f*x]*Tan[(e + f*x)/2])/((-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^
2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
 ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((
a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) - (6*(a + b)*(b + a*Cos[e + f*x])^m*Sec[e + f*x]^m*T
an[(e + f*x)/2]*(-1/3*((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2
]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/(a + b) + ((1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f
*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/((-1 + Tan[(e + f*x)/
2]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(
-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a +
 b)*(1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e +
f*x)/2]^2)) + (6*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b
)]*(b + a*Cos[e + f*x])^m*Sec[e + f*x]^m*Tan[(e + f*x)/2]*(2*(-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan
[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e
 + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2] + 3*(a + b)*(-1/3*((a
 - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*
x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/(a + b) + ((1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e
 + f*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2*(-((a - b)*m*((3*(a - b)
*(1 - m)*AppellF1[5/2, 1 + m, 2 - m, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f
*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/(5*(a + b)) + (3*(1 + m)*AppellF1[5/2, 2 + m, 1 - m, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a -
 b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5)) + (a + b)*(1 + m)*((-3*(a - b)*m*App
ellF1[5/2, 2 + m, 1 - m, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan
[(e + f*x)/2])/(5*(a + b)) + (3*(2 + m)*AppellF1[5/2, 3 + m, -m, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*
x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5))))/((-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/
2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1
+ m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*AppellF1[3/2, 2
+ m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2)))

________________________________________________________________________________________

fricas [F]  time = 0.58, size = 0, normalized size = 0.00 \[ {\rm integral}\left ({\left (b \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} \sec \left (f x + e\right ), x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(f*x+e)*(a+b*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((b*sec(f*x + e) + a)^m*sec(f*x + e), x)

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int {\left (b \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} \sec \left (f x + e\right )\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(f*x+e)*(a+b*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e) + a)^m*sec(f*x + e), x)

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 0.92, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \sec \left (f x +e \right ) \left (a +b \sec \left (f x +e \right )\right )^{m}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sec(f*x+e)*(a+b*sec(f*x+e))^m,x)

[Out]

int(sec(f*x+e)*(a+b*sec(f*x+e))^m,x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int {\left (b \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} \sec \left (f x + e\right )\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(f*x+e)*(a+b*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e) + a)^m*sec(f*x + e), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int \frac {{\left (a+\frac {b}{\cos \left (e+f\,x\right )}\right )}^m}{\cos \left (e+f\,x\right )} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a + b/cos(e + f*x))^m/cos(e + f*x),x)

[Out]

int((a + b/cos(e + f*x))^m/cos(e + f*x), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \left (a + b \sec {\left (e + f x \right )}\right )^{m} \sec {\left (e + f x \right )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(f*x+e)*(a+b*sec(f*x+e))**m,x)

[Out]

Integral((a + b*sec(e + f*x))**m*sec(e + f*x), x)

________________________________________________________________________________________

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]